Was sind Modellierungsaufgaben?
Modellierungsaufgaben sind Mathematikaufgaben, die reale Situationen beschreiben. Du musst den Text in eine mathematische Aufgabe übersetzen, das Problem lösen und die Lösung wieder in die reale Welt zurückübertragen.
Der Modellierungsprozess
Arten von Modellierungsaufgaben
Wachstumsprozesse
Bevölkerungsentwicklung, Bakterienwachstum, Zinseszins, Abwertung von Technologien
Optimierung
Kostenminimierung, Gewinnmaximierung, beste Kombination von Produkten
Wahrscheinlichkeit
Glücksspiele, Versicherungen, Risikoanalyse, Wettervorhersagen
Physikalische Anwendungen
Bewegungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Energie
Beispiel 1: Smartphone-Akku
Aufgabe
Ein neuer Smartphone-Akku hat eine Kapazität von 4000 mAh. Im Laufe eines Jahres verliert er 15% seiner Kapazität. Danach verliert er jährlich weitere 12% der jeweils verbliebenen Kapazität.
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Kapazität nach x Jahren beschreibt.
b) Berechne die Kapazität nach 3 Jahren.
c) Nach wie vielen Jahren sinkt die Kapazität unter 2000 mAh?
Lösungsweg
1Problem analysieren:
- Startwert: 4000 mAh
- Prozentualer Verlust → exponentielles Modell
- 1. Jahr: 15% Verlust, danach: 12% pro Jahr
2a) Modell erstellen:
Da sich der Prozentsatz nach dem 1. Jahr ändert, betrachten wir zwei Phasen:
Für x = 0 bis 1: K(x) = 4000 · 0,85ˣ (nur für 1. Jahr)
Nach 1. Jahr: 4000 · 0,85 = 3400 mAh
Für x ≥ 1: K(x) = 3400 · 0,88x-1
3b) Kapazität nach 3 Jahren:
K(3) = 3400 · 0,88² ≈ 2632 mAh
4c) Kapazität unter 2000 mAh:
3400 · 0,88x-1 < 2000
0,88x-1 < 0,588
x - 1 > log(0,588) / log(0,88) ≈ 4,1
x > 5,1 → Nach etwa 6 Jahren
💡 Tipp
Achte auf Änderungen im Verlauf (z.B. unterschiedlicher Prozentsatz nach dem 1. Jahr)!
Beispiel 2: Glücksspielanalyse
Aufgabe
Bei einem Karnevalsspiel kostet ein Wurf 2€. Mit einem Wurf auf eine Scheibe gewinnst du:
- 10€ mit Wahrscheinlichkeit 10%
- 5€ mit Wahrscheinlichkeit 20%
- 2€ mit Wahrscheinlichkeit 30%
- Nichts (Verlust) sonst
a) Berechne den Erwartungswert pro Spiel.
b) Ist das Spiel fair? Begründe.
c) Wie viel müsste das Spiel kosten, damit es fair wäre?
Lösungsweg
1Gewinne und Wahrscheinlichkeiten:
| Gewinn: 10€ | Netto: +8€ | P = 0,1 |
| Gewinn: 5€ | Netto: +3€ | P = 0,2 |
| Gewinn: 2€ | Netto: 0€ | P = 0,3 |
| Nichts | Netto: -2€ | P = 0,4 |
2a) Erwartungswert:
E = 8 · 0,1 + 3 · 0,2 + 0 · 0,3 + (-2) · 0,4
E = 0,8 + 0,6 + 0 - 0,8 = 0,60€
3b) Fairness:
Der Erwartungswert ist positiv (0,60€), also ist das Spiel für den Spieler unfair vorteilhaft. In der Realität wäre das für den Anbieter unmöglich!
4c) Fairer Preis:
Ein faires Spiel hat E = 0. Der Einsatz müsste um 0,60€ höher sein.
Fairer Preis = 2€ + 0,60€ = 2,60€
Interaktive Aufgabe: Sparen vs. Investieren
Erstelle dein eigenes Modell!
Ergebnis
-
Aufgabe:
Vergleiche das Ergebnis mit rein linearem Sparen (ohne Zinsen). Wie viel mehr bringt der Zinseszins?
Tipps für Modellierungsaufgaben
Strategien für die Prüfung
1. Text sorgfältig lesen
- Alle Zahlen markieren
- Die Fragestellung mehrmals lesen
- Nach versteckten Informationen suchen
2. Das richtige Modell wählen
- Fester Betrag = linear
- Prozentuale Veränderung = exponentiell
- Wahrscheinlichkeiten = Stochastik
3. Schrittweise vorgehen
- Einheiten nicht vergessen
- Zwischenschritte notieren
- Antwort in ganzen Sätzen formulieren
4. Ergebnis überprüfen
- Ist die Antwort realistisch?
- Passen die Einheiten?
- Probe mit einfachen Werten
Typische Fehler vermeiden
❌ Häufige Fehler
- Linear vs. Exponentiell verwechseln
- Einheiten nicht mitführen
- Prozente falsch berechnen (z.B. 15% = 0,15)
- Startwert vergessen
- Antwort nicht interpretieren
✓ So machst du es richtig
- Auf "%", "pro Jahr", "jedes Mal" achten
- Immer Einheiten angeben
- Prozentwert = Dezimalzahl verwenden
- y₀ in der Funktionsgleichung nicht vergessen
- Ergebnis in ganzen Sätzen in den Kontext einbetten