Was ist der Erwartungswert?
Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert, den wir bei einem Zufallsexperiment erwarten können, wenn wir es sehr oft wiederholen. Er ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wird mit E oder μ bezeichnet.
Wichtige Eigenschaften:
- Der Erwartungswert muss selbst kein möglicher Ausgang sein
- Er gibt an, welcher Wert im Durchschnitt zu erwarten ist
- Bei vielen Wiederholungen nähert sich der Durchschnitt dem Erwartungswert
Die Formel
Die Formel erklärt:
- xᵢ: Der i-te mögliche Ausgang (Wert)
- P(xᵢ): Die Wahrscheinlichkeit für diesen Ausgang
- Σ: Summe über alle möglichen Ausgänge
- E(X): Der Erwartungswert der Zufallsgröße X
In Worten:
Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte.
Einfache Beispiele
Beispiel 1: Gewürfelte Zahl
Bei einem normalen Würfel ist jede Zahl von 1 bis 6 gleich wahrscheinlich (P = 1/6).
Berechnung:
E = 1 · (1/6) + 2 · (1/6) + 3 · (1/6) + 4 · (1/6) + 5 · (1/6) + 6 · (1/6)
E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · (1/6)
E = 21 · (1/6) = 3,5
Der Erwartungswert ist 3,5.
Beachte: 3,5 ist gar kein möglicher Würfelergebnis! Das zeigt, dass der Erwartungswert nicht selbst erreicht werden muss.
Beispiel 2: Glücksspiel
Du zahlst 2€ für ein Spiel. Du gewinnst 10€ mit Wahrscheinlichkeit 20%, ansonsten verlierst du deinen Einsatz.
Mögliche Ausgänge:
- Gewinn: +8€ (10€ - 2€ Einsatz) mit P = 0,2
- Verlust: -2€ mit P = 0,8
Berechnung:
E = (+8) · 0,2 + (-2) · 0,8
E = 1,6 - 1,6 = 0
Der Erwartungswert ist 0€.
Faire Spiele: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert 0 ist. Langfristig gewinnt oder verliert niemand.
Beispiel 3: Lotterie (ungünstiges Spiel)
Ein Los kostet 5€. Mit Wahrscheinlichkeit 0,001 (0,1%) gewinnst du 1000€.
Mögliche Ausgänge:
- Gewinn: +995€ (1000€ - 5€) mit P = 0,001
- Verlust: -5€ mit P = 0,999
Berechnung:
E = 995 · 0,001 + (-5) · 0,999
E = 0,995 - 4,995 = -4€
Der Erwartungswert ist -4€ pro Spiel.
Interpretation: Im Durchschnitt verlierst du 4€ pro Los. Langfristig ist das Spiel für dich ungünstig!
Interaktiver Rechner
Berechne deinen eigenen Erwartungswert!
Ergebnis
-
Simulation: Glücksspiel
Das Rad drehen!
Stell dir vor, du drehst ein Glücksrad. Das Rad hat folgende Felder:
- 10€ (Wahrscheinlichkeit 20%)
- 5€ (Wahrscheinlichkeit 30%)
- 0€ (Wahrscheinlichkeit 40%)
- -10€ (Wahrscheinlichkeit 10%)
Aktuelles Ergebnis:
-
Statistik
Anzahl Drehungen: 0
Gesamtgewinn: 0€
Durchschnitt: 0€
Theoretischer Erwartungswert: 3,00€
Eigenschaften des Erwartungswerts
Wichtige Rechenregeln
1. Linearität:
Wenn du alle Ergebnisse mit a multiplizierst und b addierst, multipliziere den Erwartungswert mit a und addiere b.
2. Summe von Zufallsgrößen:
Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte.
3. Produkt bei Unabhängigkeit:
Quiz: Erwartungswert berechnen
Teste dein Wissen!
1. Eine Münze zeigt Kopf = 10€, Zahl = 0€. Einsatz: 2€. Was ist der Erwartungswert?
2. Ein Würfel: Du erhältst die Augenzahl in Euro. Was erwartest du?
3. Bei welchem Spiel ist der Erwartungswert negativ?
4. Wenn E(X) = 5, was ist E(2 · X + 3)?
💡 Anwendungen des Erwartungswerts
Versicherungen
Berechnung der durchschnittlichen Schadenssumme für Prämien
Casinos
Gewinngarantie durch positiven Erwartungswert
Investitionen
Risikoanalyse und Portfoliobewertung
Qualitätskontrolle
Durchschnittliche Ausschussrate berechnen
📝 Wichtige Hinweise
- Erwartungswert ≠ Häufigster Wert: Der Erwartungswert ist der Durchschnitt, nicht der häufigste Wert (das wäre der Modalwert)!
- Kurzfristig vs. Langfristig: Kurzfristig kann jeder Wert auftreten. Der Erwartungswert gilt erst bei vielen Wiederholungen.
- Faire Spiele: Ein Spiel ist fair, wenn E = 0 (kein Vorteil für irgendjemanden).
- Risiko: Der Erwartungswert sagt nichts über das Risiko oder die Schwankungsbreite aus (dafür gibt es die Varianz).