Was ist der Erwartungswert?
Stell dir vor, du spielst ein Spiel: Du wirfst eine Münze. Bei Kopf gewinnst du 10 €, bei Zahl zahlst du 5 €. Würdest du mitspielen? Im Durchschnitt gewinnst du pro Spiel (10 € × 0,5) + (−5 € × 0,5) = 2,50 €. Das ist der Erwartungswert — der Betrag, den du auf lange Sicht pro Spiel erwarten kannst.
Wichtige Eigenschaften:
- Der Erwartungswert muss selbst kein möglicher Ausgang sein
- Er gibt an, welcher Wert im Durchschnitt zu erwarten ist
- Bei vielen Wiederholungen nähert sich der Durchschnitt dem Erwartungswert
Die Formel
Die Formel erklärt:
- x₁, x₂, ...: Die möglichen Ergebnisse (Werte)
- P(x₁), P(x₂), ...: Die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis
- E: Der Erwartungswert
In Worten:
Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte.
Einfache Beispiele
Beispiel 1: Gewürfelte Zahl
Bei einem normalen Würfel ist jede Zahl von 1 bis 6 gleich wahrscheinlich (P = 1/6).
Berechnung:
E = 1 · (1/6) + 2 · (1/6) + 3 · (1/6) + 4 · (1/6) + 5 · (1/6) + 6 · (1/6)
E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · (1/6)
E = 21 · (1/6) = 3,5
Der Erwartungswert ist 3,5.
Beachte: 3,5 ist gar kein möglicher Würfelergebnis! Das zeigt, dass der Erwartungswert nicht selbst erreicht werden muss.
Beispiel 2: Glücksspiel
Du zahlst 2€ für ein Spiel. Du gewinnst 10€ mit Wahrscheinlichkeit 20%, ansonsten verlierst du deinen Einsatz.
Mögliche Ausgänge:
- Gewinn: +8€ (10€ - 2€ Einsatz) mit P = 0,2
- Verlust: -2€ mit P = 0,8
Berechnung:
E = (+8) · 0,2 + (-2) · 0,8
E = 1,6 - 1,6 = 0
Der Erwartungswert ist 0€.
Faire Spiele: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert 0 ist. Langfristig gewinnt oder verliert niemand.
Beispiel 3: Lotterie (ungünstiges Spiel)
Ein Los kostet 5€. Mit Wahrscheinlichkeit 0,001 (0,1%) gewinnst du 1000€.
Mögliche Ausgänge:
- Gewinn: +995€ (1000€ - 5€) mit P = 0,001
- Verlust: -5€ mit P = 0,999
Berechnung:
E = 995 · 0,001 + (-5) · 0,999
E = 0,995 - 4,995 = -4€
Der Erwartungswert ist -4€ pro Spiel.
Interpretation: Im Durchschnitt verlierst du 4€ pro Los. Langfristig ist das Spiel für dich ungünstig!
Interaktiver Rechner
Berechne deinen eigenen Erwartungswert!
Ergebnis
-
Simulation: Glücksspiel
Das Rad drehen!
Stell dir vor, du drehst ein Glücksrad. Das Rad hat folgende Felder:
- 10€ (Wahrscheinlichkeit 20%)
- 5€ (Wahrscheinlichkeit 30%)
- 0€ (Wahrscheinlichkeit 40%)
- -10€ (Wahrscheinlichkeit 10%)
Aktuelles Ergebnis:
-
Statistik
Anzahl Drehungen: 0
Gesamtgewinn: 0€
Durchschnitt: 0€
Theoretischer Erwartungswert: 3,00€
Eigenschaften des Erwartungswerts
Wichtige Rechenregeln
1. Linearität:
Wenn du alle Ergebnisse mit a multiplizierst und b addierst, multipliziere den Erwartungswert mit a und addiere b.
2. Summe von Zufallsgrößen:
Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte.
3. Produkt bei Unabhängigkeit:
Quiz: Erwartungswert berechnen
Teste dein Wissen!
1. Eine Münze zeigt Kopf = 10€, Zahl = 0€. Einsatz: 2€. Was ist der Erwartungswert?
2. Ein Würfel: Du erhältst die Augenzahl in Euro. Was erwartest du?
3. Bei welchem Spiel ist der Erwartungswert negativ?
4. Wenn E(X) = 5, was ist E(2 · X + 3)?
💡 Anwendungen des Erwartungswerts
Versicherungen
Berechnung der durchschnittlichen Schadenssumme für Prämien
Casinos
Gewinngarantie durch positiven Erwartungswert
Investitionen
Risikoanalyse und Portfoliobewertung
Qualitätskontrolle
Durchschnittliche Ausschussrate berechnen
📝 Wichtige Hinweise
- Erwartungswert ≠ Häufigster Wert: Der Erwartungswert ist der Durchschnitt, nicht der häufigste Wert (das wäre der Modalwert)!
- Kurzfristig vs. Langfristig: Kurzfristig kann jeder Wert auftreten. Der Erwartungswert gilt erst bei vielen Wiederholungen.
- Faire Spiele: Ein Spiel ist fair, wenn E = 0 (kein Vorteil für irgendjemanden).
- Risiko: Der Erwartungswert sagt nichts über das Risiko oder die Schwankungsbreite aus (dafür gibt es die Varianz).