Mittelwert und Median

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Was sind Mittelwert und Median?

Mittelwert und Median sind zwei Möglichkeiten, um die "Mitte" eines Datensatzes zu beschreiben:

Die wichtigsten Lageparameter

Mittelwert (Durchschnitt)

Der Mittelwert (auch arithmetisches Mittel oder Durchschnitt genannt) ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Mittelwert = Summe aller Werte Ă· Anzahl

Median (Zentralwert)

Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte eines sortierten Datensatzes liegt. Die Hälfte der Werte ist kleiner, die andere Hälfte größer als der Median.

Mittelwert berechnen

So berechnest du den Mittelwert:

Beispiel: Noten eines SchĂĽlers

Ein SchĂĽler hat folgende Noten geschrieben: 2, 4, 3, 5, 4

1 Schritt 1: Alle Werte zusammenzählen
2 + 4 + 3 + 5 + 4 = 18
2 Schritt 2: Durch die Anzahl teilen
Es gibt 5 Noten, also: 18 Ă· 5 = 3,6

Der Mittelwert ist 3,6

Weitere Beispiele:

• Temperaturen: 15°, 18°, 20°, 17°, 16° → Mittelwert = 86° ÷ 5 = 17,2°

• Körpergrößen: 150 cm, 155 cm, 160 cm, 158 cm, 152 cm → Mittelwert = 775 cm ÷ 5 = 155 cm

Median berechnen

So findest du den Median:

Beispiel 1: Ungerade Anzahl von Werten

Datensatz: 3, 1, 5, 2, 4

1 Schritt 1: Alle Werte der Größe nach sortieren
1, 2, 3, 4, 5
2 Schritt 2: Den mittleren Wert suchen
Der Median ist 3 (der dritte Wert von fĂĽnf)
1
2
3
4
5

↑ Der Median (3 Werte links, 3 Werte rechts)

Der Median ist 3

Beispiel 2: Gerade Anzahl von Werten

Datensatz: 6, 2, 8, 4

1 Schritt 1: Alle Werte der Größe nach sortieren
2, 4, 6, 8
2 Schritt 2: Die beiden mittleren Werte finden
Die mittleren Werte sind 4 und 6
3 Schritt 3: Den Durchschnitt der beiden mittleren Werte berechnen
(4 + 6) Ă· 2 = 10 Ă· 2 = 5
2
4
6
8

↑ Die beiden mittleren Werte

Der Median ist 5 (Durchschnitt von 4 und 6)

Unterschied zwischen Mittelwert und Median

Wann nimmst du was?

Mittelwert

Vorteile:

  • BerĂĽcksichtigt alle Werte
  • Häufig verwendet in Alltag und Wissenschaft

Nachteile:

  • Wird durch AusreiĂźer stark beeinflusst
  • Kann untypisch fĂĽr den Datensatz sein

Median

Vorteile:

  • Robust gegen AusreiĂźer
  • Gibt den "typischen" Wert an

Nachteile:

  • BerĂĽcksichtigt nicht die genauen Werte
  • Schwieriger zu berechnen

Beispiel: Wann sind sie verschieden?

Datensatz: 1, 2, 3, 4, 100

Mittelwert: (1 + 2 + 3 + 4 + 100) Ă· 5 = 110 Ă· 5 = 22

Der Mittelwert ist 22 (durch die 100 stark erhöht!)

Median: 3 (der mittlere Wert)

Der Median ist 3 (typischer fĂĽr die meisten Werte)

Erkenntnis: Bei Ausreißern (wie der 100) ist der Median oft aussagekräftiger!

Interaktive Ăśbung

Berechne Mittelwert und Median!

Quiz

Was ist der Mittelwert von 4, 6, 8, 10?

6
7
8
9

Was ist der Median von 3, 7, 5, 9, 1?

3
5
7
9

Mittelwert und Median im Alltag

Beispiele aus dem Alltag:

  • Noten: Der Mittelwert (Durchschnittsnote) wird fĂĽr Zeugnisse verwendet
  • Einkommen: Der Median wird oft angegeben, weil er nicht durch sehr hohe Einkommen verzerrt wird
  • Temperaturen: Die Durchschnittstemperatur eines Monats ist der Mittelwert aller Tagestemperaturen
  • Sport: Die Durchschnittszeit eines Läufers ĂĽber mehrere Rennen

Wichtige Punkte:

• Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl

• Der Median ist der mittlere Wert nach dem Sortieren

• Bei einer geraden Anzahl nimmst du den Durchschnitt der beiden mittleren Werte

• Der Median ist robuster gegen Ausreißer als der Mittelwert

• Beide sind wichtige "Lageparameter" in der Statistik