Was ist eine antiproportionale Zuordnung?
Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt: "Je mehr, desto weniger!"
Wenn eine Größe vergrößert wird, wird die andere Größe verkleinert. Das Produkt beider Größen bleibt immer gleich!
Das Merkmal: Das Produkt ist immer gleich (konstant)!
x · y = k (konstant)
📊 Beispiel aus dem Alltag:
2 Arbeiter brauchen 6 Tage für eine Arbeit
→ 3 Arbeiter brauchen 4 Tage (weniger Zeit)
→ 6 Arbeiter brauchen 2 Tage (noch weniger Zeit)
Produkt: 2 · 6 = 3 · 4 = 6 · 2 = 12
Proportionale vs. Antiproportionale Zuordnung
Vergleich der beiden Zuordnungsarten
Proportional
"Je mehr, desto mehr"
y : x = konstant
Beispiel: Preis und Menge
Antiproportional
"Je mehr, desto weniger"
x · y = konstant
Beispiel: Arbeiter und Zeit
Die Wertetabelle
Bei antiproportionalen Zuordnungen können wir die Werte auch in einer Tabelle darstellen:
Beispiel: Arbeiter und Tage (Produkt = 12)
| Anzahl Arbeiter | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tage | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Produkt ist immer gleich:
Interaktiv: Wertetabelle ausfüllen
Vervollständige die Tabelle!
Das Produkt ist immer 60. (Beispiel: Zeit und Geschwindigkeit für eine Strecke)
| Geschwindigkeit (km/h) | 10 | 12 | 15 | 20 | 30 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeit (h) | 6 | 5 | ? | ? | ? | ? |
Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung
Wenn wir eine antiproportionale Zuordnung zeichnen, erhalten wir eine Hyperbel!
Graph: y = 12/x
Die Hyperbel nähert sich den Achsen, berührt sie aber nie.
Eigenschaften des Graphen:
- Der Graph ist eine Hyperbel (zwei Kurven)
- Die Kurven nähern sich den Achsen, berühren sie aber nie
- Ein Kurventeil liegt im 1. Quadranten, einer im 3. Quadranten
Interaktiver Rechner
Antiproportionale Zuordnung berechnen
Produkt (konstant):
Ergebnis: 4
Anwendungen aus dem Alltag
👷 Arbeiter und Zeit
4 Arbeiter brauchen 10 Tage für ein Projekt. Wie lange brauchen 8 Arbeiter?
Lösung: 4 · 10 = 40 (Produkt)
8 · x = 40 → x = 5 Tage
🚗 Geschwindigkeit und Zeit
Bei 60 km/h braucht man 4 Stunden. Wie lange bei 80 km/h?
Lösung: 60 · 4 = 240 km (Strecke)
80 · x = 240 → x = 3 Stunden
🍰 Stücke und Gäste
Wenn jeder Gast 2 Stücke Kuchen bekommt, reichen 30 Stücke für 15 Gäste. Wie viele Gäste bekommen Kuchen, wenn jeder 3 Stücke nimmt?
Lösung: 30 · 2 = 60 (Produkt)
x · 3 = 60 → x = 20 Gäste
Quiz: Antiproportionale Zuordnungen
Wichtige Merkmale antiproportionaler Zuordnungen:
- Das Produkt x · y ist immer gleich
- Der Graph ist eine Hyperbel
- "Je mehr, desto weniger" oder "Je weniger, desto mehr"
- Verdopplung von x bewirkt Halbierung von y
Merkregel: "Das Produkt bleibt gleich!"