Was sind binomische Formeln?
Die binomischen Formeln sind wichtige Regeln in der Algebra. Sie helfen uns, bestimmte Klammerausträge schnell und richtig auszurechnen.
Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Termen.
Die binomischen Formeln zeigen, wie man Binome quadriert!
1. Binomische Formel
(a + b)²
Merksatz: "Plus plus plus"
Erst quadratisch, dann doppelt gemischt, dann plus quadratisch!
Beispiel 1: (x + 4)²
= x² + 2·x·4 + 4²
= x² + 8x + 16
Beispiel 2: (3a + 2)²
= (3a)² + 2·3a·2 + 2²
= 9a² + 12a + 4
2. Binomische Formel
(a - b)²
Merksatz: "Minus minus plus"
Achtung: Das mittlere Glied ist minus, das letzte plus!
Beispiel 1: (x - 3)²
= x² - 2·x·3 + 3²
= x² - 6x + 9
Beispiel 2: (5a - 1)²
= (5a)² - 2·5a·1 + 1²
= 25a² - 10a + 1
3. Binomische Formel
(a + b)(a - b)
Merksatz: "Plus mal Minus ergibt Minus"
Das mittlere Glied fällt weg - nur minus quadratisch!
Beispiel 1: (x + 4)(x - 4)
= x² - 4²
= x² - 16
Beispiel 2: (3a + 2)(3a - 2)
= (3a)² - 2²
= 9a² - 4
Formel-Quiz
1. Binomische Formel
Was ergibt (x + 5)²?
2. Binomische Formel
Was ergibt (x - 6)²?
3. Binomische Formel
Was ergibt (x + 7)(x - 7)?
Herausforderung
Was ergibt (2x + 3)²?
Interaktive Übungen
Aufgabe 1: 1. Binomische Formel
Berechne: (a + 7)²
Aufgabe 2: 2. Binomische Formel
Berechne: (x - 8)²
Aufgabe 3: 3. Binomische Formel
Berechne: (3a + 4)(3a - 4)
Aufgabe 4: Mit Faktor vor der Klammer
Berechne: (2x - 5)²
Umgekehrte Anwendung: Faktorisieren
Die binomischen Formeln können auch verwendet werden, um Terme zu faktorisieren:
Beispiel 1: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Erkenntnis: 3² = 9 und 2·3 = 6
Beispiel 2: x² - 8x + 16 = (x - 4)²
Erkenntnis: 4² = 16 und 2·4 = 8
Beispiel 3: x² - 25 = (x + 5)(x - 5)
Erkenntnis: 5² = 25, dritte Formel anwenden
Schnell-Training
Wie viele kannst du in 60 Sekunden?
Wichtige Merksätze:
- 1. Formel: Plus, Plus, Plus (+ 2ab + b²)
- 2. Formel: Minus, Minus, Plus (- 2ab + b²)
- 3. Formel: Das mittlere Glied fällt weg!
Tipp: Denke bei (2x)² immer an 4x²!