Die Winkelsumme im Dreieck
Die wichtigste Grundlage: Die Summe aller drei Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°.
Demonstration
α + β + γ = 180°
50° + 60° + 70° = 180°
90° + 45° + 45° = 180°
Warum 180°?
Ein gerader Strahl hat 180°. Wenn man die Ecken eines Dreiecks an einem Punkt zusammenlegt, bilden sie einen genauen Strahl.
Das gilt für alle Dreiecke - egal welchen Typs!
Winkelsumme in beliebigen Vielecken
Die Formel für die Winkelsumme
wobei n die Anzahl der Seiten (und Ecken) ist
Herleitung der Formel:
Jedes n-Eck kann in (n-2) Dreiecke zerlegt werden:
- Von einer Ecke aus werden alle Diagonalen gezogen
- Das erzeugt (n-2) Dreiecke
- Jedes Dreieck hat 180° Winkelsumme
- Also: (n-2) · 180° insgesamt
Visualisierung: Fünfeck
Ein Fünfeck kann in 3 Dreiecke zerlegt werden: 3 · 180° = 540°
Beispiele für verschiedene Vielecke
| Vieleck | Seiten (n) | Formel | Winkelsumme |
|---|---|---|---|
| Dreieck | 3 | (3-2) · 180° | 180° |
| Viereck | 4 | (4-2) · 180° | 360° |
| Fünfeck | 5 | (5-2) · 180° | 540° |
| Sechseck | 6 | (6-2) · 180° | 720° |
| Achteck | 8 | (8-2) · 180° | 1080° |
| Zehneck | 10 | (10-2) · 180° | 1440° |
| Zwölfeck | 12 | (12-2) · 180° | 1800° |
Winkelsummen-Rechner
Berechne die Winkelsumme!
Gib die Anzahl der Seiten ein:
Interaktive Übungen
Aufgabe 1: Fünfeck
Wie groß ist die Winkelsumme eines Fünfecks?
Aufgabe 2: Neuneck
Wie groß ist die Winkelsumme eines Neunecks?
Aufgabe 3: Einzelner Winkel
Wie groß ist jeder Innenwinkel in einem regelmäßigen Sechseck?
Aufgabe 4: Fehlender Winkel
Ein Viereck hat die Winkel 80°, 95° und 110°. Wie groß ist der vierte Winkel?
Regelmäßige Vielecke
In einem regelmäßigen n-Eck sind alle Innenwinkel gleich groß.
Einzelner Winkel = Winkelsumme : n = (n-2) · 180° : n
Beispiele:
- Regelmäßiges Dreieck (gleichseitig): 60° (180° : 3)
- Quadrat: 90° (360° : 4)
- Regelmäßiges Fünfeck: 108° (540° : 5)
- Regelmäßiges Sechseck: 120° (720° : 6)
Zusammenfassung:
- Formel: Winkelsumme = (n - 2) · 180°
- Ein Dreieck hat immer 180°
- Ein Viereck hat immer 360°
- Bei regelmäßigen Vielecken: Winkelsumme durch n teilen