Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Die Lösung eines LGS sind die Werte der Variablen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Beispiel eines LGS mit zwei Variablen:
â‘ 2x + 3y = 12
â‘¡ 4x - y = 6
Was bedeutet "linear"?
Eine Gleichung heißt linear, wenn alle Variablen nur in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden.
Lineare Gleichungen:
- ✓ 3x + 2y = 8
- ✓ x - 4y = 0
- ✓ 5x = 15
Nicht lineare Gleichungen:
- ✗ x² + y = 5 (Quadratische Gleichung)
- ✗ xy = 6 (Produkt von Variablen)
- ✗ x³ = 27 (Kubische Gleichung)
Die Lösung eines LGS
Die Lösung eines LGS mit zwei Variablen ist ein geordnetes Paar (x|y), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Interaktives Beispiel
Probiere verschiedene Werte für x und y aus:
Gleichung 2: 2·0 - 0 = 0 ≠5
Anzahl der Lösungen
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann drei verschiedene Lösungs-Fälle haben:
1. Genau eine Lösung:
Die beiden Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
Beispiel: x + y = 5, x - y = 1 → Lösung: (3|2)
2. Unendlich viele Lösungen:
Die beiden Geraden sind identisch (liegen übereinander).
Beispiel: x + y = 5, 2x + 2y = 10
3. Keine Lösung:
Die beiden Geraden sind parallel (schneiden sich nie).
Beispiel: x + y = 5, x + y = 7
Lösungs-Methoden
Es gibt verschiedene Methoden, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen:
- Grafisches Verfahren: Die Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen
- Einsetzungsverfahren: Eine Variable durch die andere ausdrücken
- Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen und gleichsetzen
- Additionsverfahren: Gleichungen addieren, um eine Variable zu eliminieren
Lösung überprüfen
Prüfe, ob das Paar (x|y) eine Lösung des Gleichungssystems ist:
x - y = 1
Anwendungen
Lineare Gleichungssysteme werden in vielen Bereichen verwendet:
Praxisbeispiele
Preisberechnung: 3 Äpfel und 2 Birnen kosten 5€, 1 Apfel und 3 Birnen kosten 4€
→ Wie viel kostet ein Apfel, wie viel eine Birne?
Mischung: Eine Mischung soll 20% Zucker enthalten. Mische Lösung A (10%) mit Lösung B (30%)
→ Wie viel von jeder Lösung benötigst du?
Bewegung: Zwei Autos fahren aufeinander zu. Auto A fährt 80 km/h, Auto B 100 km/h
→ Wann und wo treffen sie sich?
Tipp: Bevor du ein LGS löst, überprüfe immer, ob die Gleichungen vereinfacht werden können!
Beispiel: 2x + 4y = 8 kann durch 2 geteilt werden → x + 2y = 4
Das macht die weitere Berechnung oft einfacher.