Was sind zweistufige Zufallsversuche?
Ein zweistufiger Zufallsversuch besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Zufallsexperimenten. Das Ergebnis des zweiten Experiments kann vom Ergebnis des ersten abhängen.
Beispiel: Zweimaliges Würfeln
1. Stufe: Erster Wurf → Ergebnis: z.B. 4
2. Stufe: Zweiter Wurf → Ergebnis: z.B. 6
Gesamtergebnis: (4|6) oder 4-6
Struktur von zweistufigen Versuchen
Visualisierung der Stufen
1. Stufe
Erstes Experiment
Ergebnis: E₁
2. Stufe
Zweites Experiment
Ergebnis: E₂
Gesamtergebnis
Kombination
(E₁|E₂)
Wichtige Begriffe:
- 1. Stufe: Erstes Zufallsexperiment
- 2. Stufe: Zweites Zufallsexperiment
- Pfad: Kombination von Ergebnissen aus beiden Stufen
- Ergebnisraum: Alle möglichen Gesamtergebnisse
Beispiele für zweistufige Zufallsversuche
Zweimal würfeln
1. Stufe: Erster Wurf (1-6)
2. Stufe: Zweiter Wurf (1-6)
Ergebnisraum: 36 Möglichkeiten
Zweimal Münze werfen
1. Stufe: Erster Wurf (K/Z)
2. Stufe: Zweiter Wurf (K/Z)
Ergebnisraum: KK, KZ, ZK, ZZ
Karten ziehen
1. Stufe: Erste Karte
2. Stufe: Zweite Karte (ohne Zurücklegen)
Abhängige Ereignisse!
Zweimaliges Drehen
1. Stufe: Erste Drehung
2. Stufe: Zweite Drehung
Glücksrad-Beispiel
Interaktiver Versuch
Führe einen zweistufigen Zufallsversuch durch!
Klicke auf "Versuch durchführen"!
Abhängige vs. Unabhängige Ereignisse
Der Unterschied
Unabhängige Ereignisse
Das Ergebnis der zweiten Stufe hängt NICHT vom Ergebnis der ersten Stufe ab.
Beispiel: Zweimal würfeln (mit Zurücklegen)
Der zweite Wurf ist unabhängig vom ersten
P(6 beim 2. Wurf) = 1/6, egal was beim 1. Wurf war
Abhängige Ereignisse
Das Ergebnis der zweiten Stufe hängt VOM Ergebnis der ersten Stufe ab.
Beispiel: Zwei Karten ziehen (ohne Zurücklegen)
Wenn die erste Karte ein Ass war, gibt es jetzt nur noch 3 Asse im Stapel
P(Ass beim 2. Zug) ändert sich je nach 1. Zug!
Der Ergebnisraum
Der Ergebnisraum enthält alle möglichen Gesamtergebnisse eines zweistufigen Zufallsversuchs.
Beispiel: Zweimal würfeln
Ergebnisraum Ω:
Ω = {(1|1), (1|2), (1|3), ..., (6|5), (6|6)}
Anzahl der Möglichkeiten: 6 × 6 = 36
Einfache Ereignisse
(1|1), (6|6), etc.
P = 1/36
Zusammengesetzte Ereignisse
"Beide Würfel zeigen 6"
P = 1/36
Komplexe Ereignisse
"Summe = 7"
P = 6/36 = 1/6
Wissens-Quiz
Teste dein Verständnis von zweistufigen Zufallsversuchen!
Wichtige Regeln:
- Produktregel: Bei unabhängigen Ereignissen multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten
- Anzahl Möglichkeiten: = Möglichkeiten 1. Stufe × Möglichkeiten 2. Stufe
- Pfadregeln: Für zweistufige Versuche gibt es spezielle Pfadregeln
Vorbereitung auf Baumdiagramme:
Zweistufige Zufallsversuche werden häufig mit Baumdiagrammen dargestellt. Jede Stufe entspricht einer Verzweigung im Baum.
→ Mehr dazu in der nächsten Lektion!