Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist eine kurze Schreibweise für die mehrfache Multiplikation derselben Zahl.
Allgemeine Form: an (a hoch n)
Basis: a (die Zahl, die multipliziert wird)
Exponent: n (wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird)
Beispiel: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
Beispiel: 53 = 5 · 5 · 5 = 125
Beispiel: 106 = 1.000.000 (eine Million)
Potenzgesetze
1. Potenzgesetze: Multiplikation bei gleicher Basis
Regel: am · an = am+n
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert!
Beispiel: 23 · 24 = 23+4 = 27 = 128
Beispiel: x5 · x2 = x5+2 = x7
2. Potenzgesetz: Division bei gleicher Basis
Regel: am : an = am-n
Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert!
Beispiel: 57 : 53 = 57-3 = 54 = 625
Beispiel: y9 : y4 = y9-4 = y5
3. Potenzgesetz: Potenz einer Potenz
Regel: (am)n = am·n
Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert!
Beispiel: (23)4 = 23·4 = 212 = 4096
Beispiel: (x2)5 = x2·5 = x10
4. Potenzgesetz: Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten
Regel: an · bn = (a · b)n
Bei gleichem Exponenten werden die Basen multipliziert!
Beispiel: 23 · 53 = (2 · 5)3 = 103 = 1000
5. Potenzgesetz: Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
Regel: an : bn = (a : b)n
Bei gleichem Exponenten werden die Basen dividiert!
Beispiel: 104 : 24 = (10 : 2)4 = 54 = 625
Spezielle Potenzen
Potenz mit Exponent 0
Regel: a0 = 1 (für a ≠ 0)
Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ist 1!
Beispiel: 50 = 1, 1000 = 1, x0 = 1
Potenz mit negativem Exponenten
Regel: a-n = 1/an
Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert!
Beispiel: 2-3 = 1/23 = 1/8 = 0,125
Beispiel: 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01
Potenz mit Exponent 1
Regel: a1 = a
Jede Zahl hoch 1 ist die Zahl selbst!
Zehnerpotenzschreibweise
Die Zehnerpotenzschreibweise ist besonders nützlich für sehr große und sehr kleine Zahlen.
Positive Zehnerpotenzen:
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000 = ein Tausend
106 = 1.000.000 = eine Million
109 = 1.000.000.000 = eine Milliarde
Negative Zehnerpotenzen:
10-1 = 0,1 = ein Zehntel
10-2 = 0,01 = ein Hundertstel
10-3 = 0,001 = ein Tausendstel
10-6 = 0,000001 = ein Millionstel
Übungsaufgaben (zum Rechnen auf Papier)
Aufgabe 1: Vereinfachen mit Potenzgesetzen
Vereinfache so weit wie möglich:
a) 34 · 36
b) x8 · x3
c) 59 : 54
d) a12 : a5
Aufgabe 2: Potenz einer Potenz
Vereinfache:
a) (23)4
b) (x2)7
c) (53)2
Aufgabe 3: Kombinierte Aufgaben
Vereinfache:
a) 25 · 23 : 24
b) (x4)2 · x3
c) 36 : (32)2
Aufgabe 4: Negative Exponenten
Schreibe als gewöhnliche Dezimalzahl oder Bruch:
a) 2-3
b) 10-4
c) 5-2
d) 10-1
Interaktive Übungen - Teste dich selbst!
Aufgabe 1: Multiplikation mit gleicher Basis
Vereinfache: 34 · 35
Deine Antwort (z.B. "3^9"):
Aufgabe 2: Division mit gleicher Basis
Vereinfache: 58 : 53
Deine Antwort:
Aufgabe 3: Potenz einer Potenz
Vereinfache: (23)4
Deine Antwort:
Aufgabe 4: Kombinierte Aufgabe
Vereinfache: x7 · x2 : x4
Deine Antwort:
Aufgabe 5: Negativer Exponent
Berechne: 2-3 (als Dezimalzahl)
Deine Antwort:
Aufgabe 6: Potenzgesetze mit Zahlen
Vereinfache: 24 · 42 (Hinweis: Schreibe 4 als Potenz)
Deine Antwort: