Was sind rationale Zahlen?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können.
Definition: Eine Zahl ist rational, wenn sie sich als p⁄q schreiben lässt, wobei p und q ganze Zahlen sind und q ≠ 0.
Beispiele für rationale Zahlen:
- Alle natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 100, ... (1⁄1, 2⁄1, 3⁄1, ...)
- Alle ganzen Zahlen: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (-3⁄1, -2⁄1, ...)
- Alle Brüche: 1⁄2, -3⁄4, 7⁄5, ...
- Dezimalbrüche: 0,5 (= 1⁄2), -0,75 (= -3⁄4), 3,2 (= 16⁄5)
Merke: Rationale Zahlen können positive, negative oder null sein!
Positive und negative Zahlen
Der Zahlenstrahl
Rationale Zahlen werden auf einem Zahlenstrahl dargestellt:
-3 -2 -1 0 1 2 3
◄───◄───◄───●───►───►───►
- Positive Zahlen: Rechts von der 0 (1, 2, 3, 1/2, 0,75, ...)
- Negative Zahlen: Links von der 0 (-1, -2, -3, -1/2, -0,75, ...)
- Null: Die 0 selbst ist weder positiv noch negativ
Regeln für Vorzeichen
- (+)(+) = (+) → Plus mal Plus gibt Plus
- (-)(-) = (+) → Minus mal Minus gibt Plus
- (+)(-) = (-) → Plus mal Minus gibt Minus
- (-)(+) = (-) → Minus mal Plus gibt Minus
Das Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die sich im rechten Winkel schneiden:
- x-Achse (waagerecht): Horizontale Achse, zeigt nach rechts
- y-Achse (senkrecht): Vertikale Achse, zeigt nach oben
- Ursprung: Der Schnittpunkt der beiden Achsen (0|0)
Punkte im Koordinatensystem
Ein Punkt wird durch ein geordnetes Paar (x|y) angegeben:
Beispiel: P(3|2) bedeutet:
- x-Koordinate: 3 (3 Einheiten nach rechts)
- y-Koordinate: 2 (2 Einheiten nach oben)
Die vier Quadranten
| Quadrant | x-Koordinate | y-Koordinate | Beispiel |
|---|---|---|---|
| I. | positiv (+) | positiv (+) | (3|2) |
| II. | negativ (-) | positiv (+) | (-3|2) |
| III. | negativ (-) | negativ (-) | (-3|-2) |
| IV. | positiv (+) | negativ (-) | (3|-2) |
Grundrechenarten mit rationalen Zahlen
Addition und Subtraktion
Addion:
(+5) + (+3) = +8
(-5) + (-3) = -8
(+5) + (-3) = +2
(-5) + (+3) = -2
Subtraktion:
(+5) - (+3) = +2
(-5) - (-3) = -2
(+5) - (-3) = +8
(-5) - (+3) = -8
Merke: Minus minus wird plus! (-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2
Multiplikation und Division
Multiplikation:
(+2) · (+3) = +6
(-2) · (-3) = +6
(+2) · (-3) = -6
(-2) · (+3) = -6
Division:
(+6) : (+3) = +2
(-6) : (-3) = +2
(+6) : (-3) = -2
(-6) : (+3) = -2
Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis
Ungleiche Vorzeichen → negatives Ergebnis
Übungsaufgaben (zum Rechnen auf Papier)
Aufgabe 1:
Berechne:
a) (-5) + (-3)
b) (+7) + (-4)
c) (-8) + (+12)
d) (-6) - (-2)
Aufgabe 2:
Berechne:
a) (-4) · (+5)
b) (-6) · (-7)
c) (+24) : (-4)
d) (-18) : (-3)
Aufgabe 3:
Zeichne ein Koordinatensystem und trage folgende Punkte ein:
a) A(3|2)
b) B(-2|4)
c) C(-4|-3)
d) D(2|-1)
In welchem Quadranten liegen die Punkte?
Aufgabe 4:
Ein Taucher befindet sich auf -15 m Tiefe. Er steigt um 8 m auf und taucht dann erneut 12 m tief. Auf welcher Tiefe befindet er sich nun?
Interaktive Übungen - Teste dich selbst!
Aufgabe 1: Addition
Berechne: (-7) + (+5) = ?
Aufgabe 2: Subtraktion
Berechne: (-8) - (-3) = ?
Aufgabe 3: Multiplikation
Berechne: (-6) · (-4) = ?
Aufgabe 4: Division
Berechne: (-20) : (+5) = ?
Aufgabe 5: Koordinaten
Der Punkt P(-3|4) liegt in welchem Quadranten? (Römische Zahl)
Aufgabe 6: Vorzeichen
Was ist das Ergebnis von (-3) · (-2) · (-1)?