Der Innenwinkelsatz
In jedem Dreieck gilt:
Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180°.
α + β + γ = 180°
Das gilt für jedes Dreieck - egal ob gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig oder ganz unregelmäßig!
Ausprobieren: Ziehe die Ecken!
Verändere das Dreieck, indem du die Eckpunkte ziehst (Maus oder Finger). Beobachte, dass die Winkelsumme immer 180° bleibt!
Warum sind es 180°? - Die abgerissenen Ecken
Du kannst dir die Innenwinkelsumme anschaulich beweisen. Dafür brauchst du nur ein Dreieck aus Papier und eine Schere:
Schritt 1: Dreieck zeichnen
Zeichne ein beliebiges Dreieck auf Papier und schneide es aus. Markiere die drei Winkel α, β und γ mit verschiedenen Farben.
Schritt 2: Ecken abreissen
Reiße (oder schneide) die drei Ecken des Dreiecks ab. Du hast jetzt drei kleine Stücke mit jeweils einem Winkel.
Schritt 3: Ecken zusammenlegen
Lege die drei abgerissenen Ecken mit den Spitzen aneinander. Du siehst: Die drei Winkel bilden zusammen eine gerade Linie - also genau 180°!
Ergebnis: Egal wie das Dreieck aussieht - die drei Ecken ergeben zusammengelegt immer einen gestreckten Winkel (180°). Das beweist anschaulich: α + β + γ = 180°
Übungsaufgaben (zum Rechnen auf Papier)
Aufgabe 1:
In einem Dreieck sind α = 50° und β = 70° gegeben. Berechne γ.
Aufgabe 2:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Der dritte Winkel beträgt 40°. Wie groß sind die Basiswinkel?
Aufgabe 3:
Erkläre mit einer Skizze, warum die Innenwinkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt. (Tipp: Ecken abreißen und zusammenlegen!)
Aufgabe 4:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90° und einen Winkel von 35°. Wie groß ist der dritte Winkel?
Übungsgenerator: Fehlenden Winkel berechnen
Berechne den fehlenden Winkel und gib dein Ergebnis ein!
Spezialfall: Gleichschenklige Dreiecke
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß (die Basiswinkel). Mit der Innenwinkelsumme kannst du den fehlenden Winkel berechnen:
Wenn zwei Winkel gleich groß sind (α = β), gilt:
2 · α + γ = 180°
α = (180° - γ) ÷ 2
Aufgabe 1: Basiswinkel berechnen
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze γ = 50°. Wie groß ist jeder Basiswinkel?
Aufgabe 2: Spitzenwinkel berechnen
In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt jeder Basiswinkel 70°. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?
Aufgabe 3: Gleichseitiges Dreieck
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Wie groß ist jeder Winkel?