Ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren wird eine Klammer mit einer Zahl oder einem Term multipliziert.
Die "Punkt-vor-Strich"-Regel
Beispiel 1: 3(x + 4) = 3x + 12
Beispiel 2: 5(2a - 3) = 10a - 15
Beispiel 3: -2(3x + 1) = -6x - 2
Doppelte Klammern ausmultiplizieren
Regel: Jeder Term in der ersten Klammer wird mit jedem Term in der zweiten Klammer multipliziert!
Beispiel: (x + 3)(x + 2)
= x·x + x·2 + 3·x + 3·2
= x² + 2x + 3x + 6
= x² + 5x + 6
Ausklammern
Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Faktor vor die Klammer gezogen.
Beispiel 1: 6x + 9 = 3(2x + 3)
Der gemeinsame Faktor ist 3.
Beispiel 2: 4x² - 8x = 4x(x - 2)
Der gemeinsame Faktor ist 4x.
Beispiel 3: ax + ay = a(x + y)
Der gemeinsame Faktor ist a.
Schrittweise Vorgehensweise
Schritt 1: Finde den größten gemeinsamen Faktor aller Terme
Schritt 2: Teile jeden Term durch diesen Faktor
Schritt 3: Schreibe den Faktor vor die Klammer mit den Ergebnissen
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln sind spezielle Produktformeln, die das Ausmultiplizieren erleichtern.
1. Binomische Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Beispiel: (x + 4)² = x² + 8x + 16
Beispiel: (3a + 2)² = 9a² + 12a + 4
2. Binomische Formel
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Beispiel: (x - 3)² = x² - 6x + 9
Beispiel: (5a - 1)² = 25a² - 10a + 1
3. Binomische Formel
(a + b)(a - b) = a² - b²
Beispiel: (x + 4)(x - 4) = x² - 16
Beispiel: (3a + 2)(3a - 2) = 9a² - 4
Merksätze für die binomischen Formeln
1. und 2. Formel: "Erst quadratisch, dann doppelt gemischt, dann plus/minus quadratisch"
3. Formel: "Plus mal Minus ergibt Minus - das mittlere Glied fällt weg!"
Anwendung der binomischen Formeln
Die binomischen Formeln können auch verwendet werden, um Terme zu faktorisieren (umgekehrte Richtung).
Beispiel 1: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Beispiel 2: x² - 8x + 16 = (x - 4)²
Beispiel 3: x² - 25 = (x + 5)(x - 5)
Ãœbungsaufgaben (zum Rechnen auf Papier)
Aufgabe 1: Ausmultiplizieren
Multipliziere aus:
a) 4(x + 5)
b) -3(2x - 7)
c) (x + 2)(x + 3)
d) (2a - 1)(a + 4)
Aufgabe 2: Ausklammern
Klammere aus:
a) 8x + 12
b) 6x² - 9x
c) 5ab - 10a
d) x³ + 2x²
Aufgabe 3: Binomische Formeln anwenden
Wende die passenden binomischen Formeln an:
a) (x + 5)²
b) (x - 6)²
c) (x + 7)(x - 7)
d) (3a + 4)²
Aufgabe 4: Faktorisieren
Faktorisiere mit binomischen Formeln:
a) x² + 10x + 25
b) x² - 12x + 36
c) x² - 49
Interaktive Ãœbungen - Teste dich selbst!
Aufgabe 1: Einfaches Ausmultiplizieren
Multipliziere aus: 4(x + 3)
Deine Antwort (z.B. "4x+12"):
Aufgabe 2: Negatives Ausmultiplizieren
Multipliziere aus: -2(3x - 5)
Deine Antwort:
Aufgabe 3: Ausklammern
Klammere aus: 6x + 9
Deine Antwort (z.B. "3(x+2)"):
Aufgabe 4: Ausklammern mit Variable
Klammere aus: 4x² - 8x
Deine Antwort:
Aufgabe 5: 1. Binomische Formel
Berechne: (x + 4)²
Deine Antwort:
Aufgabe 6: 2. Binomische Formel
Berechne: (x - 5)²
Deine Antwort:
Aufgabe 7: 3. Binomische Formel
Berechne: (x + 6)(x - 6)
Deine Antwort:
Aufgabe 8: Herausforderung
Berechne: (2x + 3)²
Deine Antwort: