Das Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable durch die andere ausgedrückt und in die zweite Gleichung eingesetzt.
Dies ist besonders nützlich, wenn eine Variable bereits isoliert ist oder leicht isoliert werden kann.
Vorteil: Funktioniert gut, wenn eine Variable bereits isoliert ist
Anwendung: Ideal für Gleichungen der Form y = ... oder x = ...
Schritt für Schritt Anleitung
Beispiel:
â‘ x + y = 7
â‘¡ x = y + 3
Schritt 1: Variable isolieren
In der zweiten Gleichung ist x bereits isoliert:
x = y + 3
Schritt 2: In die andere Gleichung einsetzen
Ersetze x in der ersten Gleichung durch (y + 3):
Original: x + y = 7
Einsetzen: (y + 3) + y = 7
Schritt 3: Nach der verbleibenden Variable auflösen
(y + 3) + y = 7
2y + 3 = 7
2y = 4
y = 2
Schritt 4: Zweite Variable berechnen
Setze y = 2 in die zweite Gleichung ein:
x = y + 3
x = 2 + 3
x = 5
Schritt 5: Probe
Gleichung ①: 5 + 2 = 7 ✓
Gleichung ②: 5 = 2 + 3 ✓
Lösung: (5|2)
Weiteres Beispiel
Beispiel 2:
â‘ 2x + 3y = 13
â‘¡ y = 2x - 1
Lösung:
Schritt 1: y ist bereits isoliert: y = 2x - 1
Schritt 2: Einsetzen in â‘ :
2x + 3(2x - 1) = 13
Schritt 3: Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
2x + 6x - 3 = 13
8x - 3 = 13
8x = 16
x = 2
Schritt 4: y berechnen:
y = 2·2 - 1 = 3
Lösung: (2|3)
Ãœbungsaufgaben
Aufgabe 1
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
â‘ x + y = 9
â‘¡ x = 2y
Aufgabe 2
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
â‘ 3x + 2y = 14
â‘¡ y = x + 1
Aufgabe 3
Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
â‘ x - y = 4
â‘¡ y = 3x - 14
Aufgabe 4
Zwei Zahlen haben die Summe 20. Die eine Zahl ist 4-mal so groß wie die andere um 2 größer.
Wie heißen die Zahlen?
Interaktive Ãœbungen
Aufgabe 1: Einsetzen üben
Gegeben: y = 3x - 2 und x + y = 10
Setze y in die zweite Gleichung ein. Wie lautet die resultierende Gleichung (nur die linke Seite)?
Aufgabe 2: Lösung finden
Gegeben: x = 2y und x + y = 12
Was ist der Wert von x?
Aufgabe 3: Komplexeres Beispiel
Gegeben: y = x + 1 und 2x + 3y = 19
Was ist der Wert von y?