Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Stell dir vor, du kaufst 2 Cola und 1 Chips für 8 Euro. Deine Freundin kauft 1 Cola und 1 Chips für 5 Euro. Was kostet Cola einzeln? Und was kosten Chips? Du hast zwei Unbekannte — das löst du mit zwei Gleichungen. Ein solches Paket nennst du lineares Gleichungssystem (LGS).
Die Lösung des Gleichungssystems ist das Paar (oder Tripel) von Zahlen, das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Beispiel eines LGS mit zwei Variablen:
â‘ 2x + y = 8
② x - y = 1
Die Lösung: x = 3 und y = 2, weil:
- 2·3 + 2 = 6 + 2 = 8 ✓
- 3 - 2 = 1 âś“
Warum lineare Gleichungssysteme?
Lineare Gleichungssysteme helfen uns, Probleme mit zwei oder mehr Unbekannten zu lösen.
Beispiel: Alter von zwei Personen
Aufgabe: Zusammen sind Anna und Ben 30 Jahre alt. Anna ist 6 Jahre älter als Ben.
Wie alt ist jede Person?
Schritt 1: Variablen definieren
x = Alter von Anna
y = Alter von Ben
Schritt 2: Gleichungen aufstellen
â‘ x + y = 30 (zusammen 30 Jahre)
② x = y + 6 (Anna ist 6 Jahre älter)
Schritt 3: Lösen
Dieses Gleichungssystem können wir jetzt mit verschiedenen Methoden lösen!
Arten von Lösungen
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann unterschiedliche Lösungsarten haben:
1. Genau eine Lösung
x + y = 5
x - y = 1
Lösung: x = 3, y = 2
Die beiden Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
2. Keine Lösung
x + y = 5
x + y = 7
Keine Lösung!
Die beiden Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.
3. Unendlich viele Lösungen
x + y = 5
2x + 2y = 10
Unendlich viele Lösungen!
Die beiden Geraden sind identisch (die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten).
Eine Lösung (Geraden kreuzen sich)
Keine Lösung (Geraden sind parallel)
Unendlich viele (Geraden liegen aufeinander)
Merke dir: Stell dir zwei Linien (Geraden) vor:
- Sie kreuzen sich an einem Punkt → genau eine Lösung
- Sie laufen parallel → keine Lösung
- Sie liegen genau aufeinander → unendlich viele Lösungen
Lösungsmethoden - Überblick
FĂĽr die 9. Klasse lernst du verschiedene Methoden kennen:
-
Grafische Lösung
Beide Gleichungen als Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen
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Einsetzungsverfahren
Eine Variable durch die andere ausdrĂĽcken und einsetzen
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Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen und gleichsetzen
-
Additionsverfahren
Gleichungen addieren, um eine Variable zu eliminieren
Ăśbungsaufgaben
Aufgabe 1: Lösung prüfen
Prüfe, ob das Paar (4; 3) Lösung des Gleichungssystems ist:
â‘ 2x + y = 11
② x - y = 1
Aufgabe 2: Lösung finden
Finde die Lösung des Gleichungssystems durch Probieren:
â‘ x + y = 7
② x - y = 3
Aufgabe 3: Gleichungssystem aufstellen
Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es:
Die Summe zweier Zahlen ist 15. Ihre Differenz ist 3.
Interaktive Ăśbung
Aufgabe: Lösung prüfen
Prüfe, ob x = 5 und y = 2 eine Lösung des folgenden Gleichungssystems ist:
â‘ 3x + 2y = 19
② x - y = 3
Ergibt die erste Gleichung mit x=5 und y=2 eine wahre Aussage (19)?