Einführung: Lineare Gleichungssysteme

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine Zusammenfassung von zwei oder mehreren linearen Gleichungen mit gleichen Variablen.

Die Lösung des Gleichungssystems ist das Paar (oder Tripel) von Zahlen, das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Die Lösung: x = 3 und y = 2, weil:

• 2·3 + 2 = 6 + 2 = 8 ✓
• 3 - 2 = 1 ✓

Warum lineare Gleichungssysteme?

Lineare Gleichungssysteme helfen uns, Probleme mit zwei oder mehr Unbekannten zu lösen.

Beispiel: Alter von zwei Personen

Schritt 1: Variablen definieren

x = Alter von Anna

y = Alter von Ben

Schritt 2: Gleichungen aufstellen

① x + y = 30 (zusammen 30 Jahre)

② x = y + 6 (Anna ist 6 Jahre älter)

Schritt 3: Lösen

Dieses Gleichungssystem können wir jetzt mit verschiedenen Methoden lösen!

Arten von Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann unterschiedliche Lösungsarten haben:

1. Genau eine Lösung

Die beiden Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.

2. Keine Lösung

Die beiden Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

3. Unendlich viele Lösungen

Die beiden Geraden sind identisch (die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten).

Lösungsmethoden - Überblick

Für die 9. Klasse lernst du verschiedene Methoden kennen:

• Grafische Lösung

  Beide Gleichungen als Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen

• Einsetzungsverfahren

  Eine Variable durch die andere ausdrücken und einsetzen

• Gleichsetzungsverfahren

  Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen und gleichsetzen

• Additionsverfahren

  Gleichungen addieren, um eine Variable zu eliminieren

Interaktive Übung

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